Bøker i Lehrbucher und Monographien aus dem Gebiete der exakten Wissenschaften-serien

to Classical Complex Analysis Vol. 1 by Robert B. Burckel Kansas State University 1979 BIRKHAUSER VERLAG BASEL UND STUTTGART CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek Burckel, Robert B.: An introduction to classical complex analysis I by Robert B. Burckel. - Basel. Stuttgart: Birkhiiuser. Vol. I. - 1979. (Lehrbilcher und Monographien aus dem Gebiete der exakten Wissenschaften: Math. Reihe; Bd. 64) All Rights Reserved. No part of this publication may be reproduced, stored in a retrieval system, or transmitted, in any form or by any means, electronic, mechanical, photocopying, recording or otherwise, without the prior permission of the Copyright owner. © Birkhiiuser Verlag Basel, 1979 North and South America Edition published by ACADEMIC PRESS. INC. III Fifth Avenue, New York, New York 10003 (Pure and Applied Mathematics, A Series of Monographs and Textbooks, Volume 82) ISBN-13: 978-3-0348-9376-3 e-ISBN-13: 978-3-0348-9374-9 DOl: 10.1007/978-3-0348-9374-9 Library of Congress Catalog Card Number 78-67403 5 Contents Volume I PREFACE 9 Chapter 0 PREREQUISITES AND PRELIMINARIES 13 § 1 Set Theory 13 § 2 Algebra 14 § 3 The Battlefield 14 § 4 Metric Spaces 15 § 5 Limsup and All That 18 § 6 Continuous Functions 20 § 7 Calculus 21 Chapter I CURVES, CONNECTEDNESS AND CONVEXITY 22 § 1 Elementary Results on Connectedness 22 § 2 Connectedness of Intervals, Curves and Convex Sets 23 § 3 The Basic Connectedness Lemma 28 § 4 Components and Compact Exhaustions 29 § 5 Connectivity of a Set 33 § 6 Extension Theorems 37 Notes to Chapter I 39

At the international conference on 'Harmonic Analysis and Integral Transforms', conducted by one of the authors at the Mathematical Research Institute in Oberwolfach (Black Forest) in August 1965, it was felt that there was a real need for a book on Fourier analysis stressing (i) parallel treatment of Fourier series and Fourier trans­ forms from a transform point of view, (ii) treatment of Fourier transforms in LP(lRn)_ space not only for p = 1 and p = 2, (iii) classical solution of partial differential equations with completely rigorous proofs, (iv) theory of singular integrals of convolu­ tion type, (v) applications to approximation theory including saturation theory, (vi) multiplier theory, (vii) Hilbert transforms, Riesz fractional integrals, Bessel potentials, (viii) Fourier transform methods on locally compact groups. This study aims to consider these aspects, presenting a systematic treatment of Fourier analysis on the circle as well as on the infinite line, and of those areas of approximation theory which are in some way or other related thereto. A second volume is in preparation which goes beyond the one-dimensional theory presented here to cover the subject for functions of several variables. Approximately a half of this first volume deals with the theories of Fourier series and of Fourier integrals from a transform point of view.

der schwacheren Formulierung von Hilbert (1956). Es wird gezeigt, dass dieses Axiom genau die Definition einer multiplikativen Untergruppe des Korpers der Inzidenzebene ist. Ein Punkt liegt nicht zwischen zwei anderen (mit ihm kollinearen) Punkten (bzw. zwei Punktpaare trennen sich nicht in der projek- tiven Formulierung) genau dann, wenn das Doppelverhaltnis ein Element der Untergruppe ist. Umgekehrt wird das Axiomensystem durch die Angabe einer beliebigen multiplikativen Untergruppe befriedigt. Ein vollstandiges Axiomen- system der Anordnung erreicht man, falls man durch ein zusatzliches Axiom die grosste eigentliche Untergruppe, zum Beispiel die mit Index 2 im Fall einer ungeraden Charakteristik, auswahlt. Im Teil 2. 5 wird gezeigt, dass das scharfere Paschsche Axiom genau die Untergruppe mit Index 2 aus- wahlt. Im Kapitel 3 wird die Kongruenzrelation (eine euklidische Metrik) durch die gleichen Axiome wie im ersten Teil des Buches (aber ohne die Annahme uber die Beschranktheit der Eichkurve) zu der vollstandigen Inzidenzebene des ersten Kapitels (also unabhangig von der Anordnung) hinzugefugt. Im Teil 3. 3 wird gezeigt, dass dieses Axiomensystem fur die Ebenen mit einer un- geraden Charakteristik vollstandig ist, wobei das Axiom 3. 2 zwar etwas schwacher als im ersten Teil des Buches formuliert werden muss, indem die Existenz von zwei inkommensurablen Eichkurven gestattet wird. Der wesent- liche Teil des Beweises ist das Theorem 3. 7 von Segre (1954, 1955). Im Teil 3.