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Ziel des Buches ist das Studium von Symmetrien und Parkettierungen, die Künstler und Mathematiker schon seit langer Zeit interessieren. Berühmte Beispiele sind die von den Arabern in der Alhambra geschaffenen Werke und die Bilder des holländischen Malers Maurits Escher. Die Mathematiker haben sich erst im 19. Jahrhundert des Themas intensiv angenommen. Dabei führt die Visualisierung der mathematischen Zusammenhänge zu sehr ansprechenden Bildern. Drei Ansätze werden in diesem Buch beschrieben. In Teil I wird dargestellt, dass es 17 prinzipiell verschiedene Möglichkeiten von Parkettierungen der Ebene gibt, die so genannten "Ebenen Kristallgruppen". Ergänzend dazu werden Ideen von Harald Heesch beschrieben, der zeigte, wie diese theoretischen Ergebnisse praktisch umgesetzt werden können: Er gab einen Katalog von 28 Verfahren an, die man selbst - sozusagen auf den Spuren von Escher - kreativ zur Schaffung künstlerisch anspruchsvoller Parkettierungen verwenden kann. Bei den entsprechenden Untersuchungen für die komplexe Ebene in Teil II werden Bewegungen durch bijektive holomorphe Abbildungen ersetzt. Das führt in die Theorie der Gruppen von Möbiustransformationen: Kleinsche Gruppen, Schottkygruppen usw. Dort gibt es auch interessante Verbindungen zur hyperbolischen Geometrie. Schließlich wird in Teil III noch ein dritter Aspekt des Themas behandelt, die Penroseparkettierungen. Dabei geht es um Ergebnisse aus den siebziger Jahren, als erstmals einfach zu beschreibende und beweisbar nichtperiodische Parkettierungen der Ebene angegeben wurden.

Frank Reinhold erarbeitet ein Modell zur inhaltlichen Gestaltung und Implementierung digitaler Lernumgebungen in der Mathematikdidaktik am Beispiel der Entwicklung des Bruchzahlbegriffs. Der Autor evaluiert eine digitale Lernumgebung in Form eines iBooks zum Einsatz auf iPads für dieses Themengebiet, die im Forschungsprojekt ALICE:Bruchrechnen entwickelt wurde. Er analysiert die Ergebnisse von 476 Schülerinnen und Schülern am Gymnasium und 245 Schülerinnen und Schülern an der Mittelschule und stellt Implikationen und Handlungsempfehlungen für den Mathematikunterricht und die mathematikdidaktische Forschung vor. Damit liefert die Arbeit einen differenzierten Blick auf die Wirkmechanismen von Tablet-PCs in der sechsten Jahrgangsstufe und zeigt Wege auf, wie digitale Medien gewinnbringend in den Regelunterricht integriert werden können.

Dieses essential bietet eine verständliche Einführung in die philosophischen Grundprinzipien der Wissenschaften. Beantwortet werden Fragen wie: Was bedeutet eigentlich ¿logisch¿? Was ist Deduktion, was ist Induktion? Welche Wissenschaften sind rein deduktiv? Kann ein wissenschaftliches Modell wahr oder falsch sein? Warum ist jedes wissenschaftliche Modell eine Deutung von Beobachtungen?

Dieses essential bietet eine Einführung in die theoretischen Grundlagen und Anwendungen der verallgemeinerten Funktionen. Nach zwei typischen Anwendungen verallgemeinerter Funktionen wird die Theorie entwickelt, wobei zum besseren Verständnis nur die fundamentalen Ideen vorgestellt werden, sodass keine funktionalanalytischen Kenntnisse vorausgesetzt werden. Danach folgt eine systemtheoretische Untersuchung von LTI-Systemen unter Einbeziehung der Dirac-Distribution und die Modellierung gezupfter schwingender Saiten. Den Abschluss bildet die Modellierung technischer Rauschprozesse am Beispiel des kontinuierlichen weißen Rauschens.

Dieses Buch vermittelt in leicht verständlicher Sprache Techniken zum Lösen linearer Gleichungssysteme. Der Fokus liegt dabei auf dem Gauß-Verfahren, da man hiermit Systeme beliebiger Größe und Form vollständig lösen kann. Die ersten beiden Kapitel sind der Behandlung quadratischer Systeme mit zwei oder drei Unbekannten gewidmet, um dem Leser die prinzipielle Vorgehensweise zu schildern. Darauf aufbauend wird das Gauß-Verfahren für Systeme beliebiger Größe ¿ quadratische und nicht-quadratische ¿ geschildert und anhand zahlreicher Beispiele illustriert. Der Darstellung der Lösungsmenge von Systemen mit unendlich vielen Lösungen ist ein eigener Abschnitt gewidmet. Weiterhin werden Strategien zur Behandlung von Textaufgaben, die auf lineare Gleichungssysteme führen, aufgezeigt.

Jessica Kunsteller untersucht, welche Rolle Ähnlichkeiten beim Mathematiklernen einnehmen. Zur wissenschaftlichen Betrachtung dieses Begriffs zieht die Autorin die Philosophie von Ludwig Wittgenstein heran. Darüber hinaus verwendet sie die logisch-philosophischen Schlussformen des Philosophen Charles Sanders Peirce zur Analyse von Entdeckungs- und Begründungsprozessen. Die Autorin arbeitet im Verlauf des Buches heraus, dass zahlreiche Lernprinzipien aus der Mathematikdidaktik und ihren Bezugsdisziplinen auf der Nutzung von Ähnlichkeiten basieren. Das Verhältnis zwischen Ähnlichkeiten und Analogien wird hierbei gesondert betrachtet. Anknüpfend an die theoretischen Betrachtungen werden Unterrichtsszenen auf die Nutzung von Ähnlichkeiten untersucht. Die Autorin stellt heraus, welche Ähnlichkeiten Lernende erkennen und nutzen. Weiterhin werden Implikationen des Erkennens und Nutzens von Ähnlichkeiten für den Mathematikunterricht dargelegt.

In diesem Buch werden aufbauend auf die Grundlagen individueller Entscheidungen unter Sicherheit und unter Unsicherheit die wesentlichen Modelle kollektiver Entscheidungen und kompetitiver Märkte sowie strategischer Entscheidungen in der Spieltheorie und Verhandlungstheorie vorgestellt. Entscheidungstheorie ist die Basis aller modernen mikroökonomischen Ansätze. Das Buch soll neben einem guten und möglichst umfassenden Einstieg auch die Option bieten, sich mit klaren mathematischen Begründungen formal vertraut zu machen. Es schafft damit die Basis, sich mit wissenschaftlichen entscheidungstheoretischen Arbeiten kompetent auseinanderzusetzen, aber auch diese Ansätze kritisch zu hinterfragen und eigene Modelle zu entwickeln. Das Lehrbuch für Studierende der Wirtschaftswissenschaften und der Wirtschaftsmathematik schlägt einen Bogen von Anwendungsbeispielen, grundlegenden theoretischen Konzepten bis hin zu den zentralen Beweisen. Zahlreiche unterstützende Grafiken und viele Aufgaben mit Lösungsansätzen erleichtern das Verständnis. In einem Anhang werden wesentliche Definitionen und Verfahren der Optimierung, fundamental für die Entscheidungstheorie, aufgeführt.

Frances Beier widmet sich der Entstehung mathematikbezogener Angst zu Beginn der Sekundarstufe I. Sie untersucht, in welchen Situationen mathematikbezogene Angst auftritt und durch welche Einflussfaktoren sie hervorgerufen wird. Hierzu werden Sozialisationsaspekte, schulische und außerschulische sowie intrapersonale Rahmenbedingungen diskutiert. Diese werden qualitativ überprüft und Zusammenhänge zu Situationen, in denen mathematikbezogene Angst erlebt wird, hergestellt. Die empirische Fallstudie anhand videographierter Interviews nutzt unter anderem das Facial Action Coding System und liefert so Erkenntnisse zu den einflussreichsten Faktoren und formuliert erste Ansätze zur Intervention und Prävention im mathematischen Schulalltag.Die AutorinFrances Beier arbeitete am Institut für Mathematik und ihre Didaktik an der Leuphana Universität Lüneburg und promovierte dort bei Prof. Dr. Dominik Leiss. Ihre Forschungsschwerpunkte liegen in der Emotionsentstehung bezüglich der Mathematik und der Mathematikdidaktik generell. Derzeit befindet sie sich in einer Weiterbildung zur Erlebnispädagogin.

Christian Stein untersucht anhand einer deutschlandweiten repräsentativen Stichprobe von 600 Gemeinden, ob das Vorliegen eines Landschaftsplans einen positiven, d. h. steuernden Einfluss auf Landschaftszustand und -wandel innerhalb der Kommune hat. Mit Hilfe von Indikatoren zur Flächennutzung aus dem IÖR-Monitor, welche auf geotopographischen Daten basieren, werden statistische Zusammenhänge zur Struktur und Qualität der Landschaft ermittelt. Zudem wird geprüft, inwieweit die kommunale Landschaftsplanung den Landschaftswandel im Sinne einer ökologisch nachhaltigen Entwicklung positiv beeinflusst. Die Ergebnisse der Arbeit bestätigen, dass die kommunale Landschaftsplanung zu einer Verbesserung vor allem von Struktur und Qualität der Landschaft beiträgt. Bedeutsam sind dafür insbesondere deren Qualität und Wirkungsdauer sowie konkrete Umsetzungsvorschläge.

LenaRakers synthetisiert und charakterisiert neuartige NHC-Liganden ausgehend vonden Biomolekülen Cholesterol und Campher. Die von Cholesterol abgeleitetenStrukturen konnten in der mizellaren Katalyse sowie in ersten biochemischenUntersuchungen getestet werden. Zusätzlich stellte die Autorin bidentateNHC-Thioether-Hybridliganden für die Stabilisierung von Pd-Nanopartikeln her, wobeisie über die Auswahl der Liganden unterschiedliche Löslichkeiten der Partikelerzielen und variable Aktivitäten in der Hydrierung von ungesättigten Systemenbeobachten konnte.

Corinna Hankeln untersucht, wie sich der Einsatz einer dynamischen Geometrie-Software auf den Kompetenzerwerb beim mathematischen Modellieren auswirkt. Sie stellt eine Interventionsstudie in 30 neunten Klassen vor, in der die Kompetenzentwicklung einer Gruppe, die durchgängig mit einer dynamischen Geometrie-Software arbeitet, mit einer mit Zirkel und Lineal lernenden Gruppe verglichen wird. Mithilfe der Item-Response-Theorie weist die Autorin nach, dass sich die Teilkompetenzen des Modellierens auch empirisch als unterschiedliche Leistungsdispositionen erfassen lassen. Die Befunde zeigen, dass der Einsatz eines digitalen Werkzeugs nicht unmittelbar zu einer veränderten Kompetenzentwicklung beider Gruppen führt. Differenziert nach Teilkompetenzen lassen sich aber unterschiedliche, die Kompetenzentwicklung beeinflussende Faktoren, wie etwa die Computer-Selbstwirksamkeitserwartung oder das Geschlecht der Versuchsperson, identifizieren.

Eine zentrale Idee eines kompetenzorientierten Mathematikunterrichts ist die Unterstützung Lernender beim Aufbau mathematischer Modellierungskompetenzen zur Bearbeitung realitätsbezogener Probleme. Maike Hagena geht davon aus, dass die Bearbeitung eines Modellierungsproblems aus theoretischer Sicht immer auch eine Auseinandersetzung mit Größen erfordert. Die Autorin analysiert daher empirisch den Einfluss von Größenvorstellungen auf den Erwerb von Modellierungskompetenzen angehender Mathematiklehrkräfte. Ihre Ergebnisse zeigen eindrucksvoll, welche Auswirkungen bereits eine kurze Intervention mit dem Inhalt Größen auf den Erwerb von Größenvorstellungen und Modellierungskompetenzen hat, und Hochschullehrende erhalten gleichzeitig eine Vorlage, um diese Thematik mit ihren Studierenden zu vertiefen.

Michael Hauschild führt den Leser dieses essentials zurück in den September 2008 zum holprigen Start des Large Hadron Collider LHC, des größten Teilchenbeschleunigers der Welt und der heutigen Weltmaschine am CERN, dem Europäischen Forschungszentrum für Teilchenphysik bei Genf - einem der faszinierendsten Forschungszentren überhaupt. Der Autor erläutert, wie ausgehend von den ersten Ideen die großen Kollaborationen am LHC entstanden, Zusammenschlüsse von bis zu 3.000 Physikern. Die Kollaborationen sind es, die mit Hilfe von riesigen Teilchendetektoren die Kollisionen am LHC vermessen und dabei auf die Entdeckung von neuen Teilchen hoffen. Nach einer Pause von mehr als zwei Jahren wurde der LHC im Frühjahr 2015 wieder in Betrieb genommen, um mit höherer Energie als je zuvor die Geheimnisse der Natur zu enträtseln.Der AutorDr. Michael Hauschild ist Teilchenphysiker am CERN in Genf und seit 2005 Mitglied des ATLAS Experiments am Large Hadron Collider LHC. Während der ersten langen Messperiode des LHC von 2010 bis 2012 hat er die Entdeckung des Higgs-Teilchens im Sommer 2012 unmittelbar miterlebt.

Michael Hauschild führt den Leser zurück ins Jahr 2012, als am CERN, dem Europäischen Forschungszentrum für Teilchenphysik bei Genf - einem der faszinierendsten Forschungszentren überhaupt - die Entdeckung des Higgs-Teilchens nach einer langen Jagd am Large Hadron Collider LHC verkündet wurde. Der Autor erläutert anschaulich den Higgs-Mechanismus zur Erzeugung von Masse mit der zentralen Rolle des Higgs-Teilchens in der aktuellen Teilchenphysik. Nach einer Pause von mehr als zwei Jahren wurde der LHC, der größte Teilchenbeschleuniger der Welt und die heutige Weltmaschine, im Frühjahr 2015 wieder in Betrieb genommen, um mit höherer Energie als je zuvor die Geheimnisse der Natur zu enträtseln. Ein Überblick über zukünftige Projekte bildet den Abschluss dieses essentials.Der Autor Dr. Michael Hauschild ist Teilchenphysiker am CERN in Genf und seit 2005 Mitglied des ATLAS Experiments am Large Hadron Collider LHC. Während der ersten langen Messperiode des LHC von 2010 bis 2012 hat er die Entdeckung des Higgs-Teilchens im Sommer 2012 unmittelbar miterlebt.

Im vorliegenden Band wird verdeutlicht, welche Kompetenzen Lehrkräfte haben sollten, um Schülerinnen und Schülern im Unterricht mathematisches Modellieren zu vermitteln. Im ersten Teil des Buches liegt der Fokus auf den zum Unterrichten von Modellierung in der Schule nötigen Lehrerkompetenzen. Dabei werden auch Möglichkeiten zur Förderung solcher Kompetenzen aufgezeigt. Im zweiten Teil des Buches stehen Konzepte für die Lehreraus- und -fortbildung im Vordergrund, die angehenden und praktizierenden Lehrkräften jene Kompetenzen vermitteln können. Lehrende in Schule und Hochschule wie auch Studierende des Lehramts finden in diesem Buch zahlreiche Anregungen aus Forschung und Praxis zu Lehrerkompetenzen in Bezug auf Modellieren und zu deren Erwerb.

Michaela Lichti stellt in ihrem Buch die Ergebnisse einer Interventionsstudie zur Förderung des funktionalen Denkens in Jahrgangsstufe 6 vor, die unter Verwendung von Experimenten mit gegenständlichen Materialien und Computer-Simulationen durchgeführt wurde. Basierend auf einer quantitativen und qualitativen Betrachtung der Ergebnisse arbeitet die Autorin eine Empfehlung aus, wie eine effektive Förderung funktionalen Denkens erreicht werden kann. Funktionales Denken, verstanden als das Verständnis funktionaler Zusammenhänge, ist grundlegend für das Bestehen von Schülerinnen und Schülern im Mathematikunterricht. Seine Förderung ist entsprechend von Beginn an von zentraler Bedeutung.

Das vorliegende essential stellt die Protyposis als abstrakte bedeutungsoffene Qubits (AQIs) vor. Dies sind die physikalisch und mathematisch einfachsten Quantenstrukturen. Deren fundamentale Rolle begründet eine durchgängige Erklärung der kosmischen Entwicklung, der Herausformung materieller Teilchen, von Leben und Bewusstsein. Aus ihr folgen Strukturen der Wechselwirkungen, der gravitativen, elektromagnetischen, schwachen und starken. In einem Lebewesen werden AQIs für dieses auch zu bedeutungsvoller Information. Die AQIs formen Körper und Psyche als "Uniware" zu einer Einheit, die ein hochentwickeltes Bewusstsein zu freien Entscheidungen befähigt. Es agiert sowohl logisch als auch spontan, im Gegensatz zur KI sogar nicht-algorithmisch.

Konstruktive Analysis wird in diesem Buch mit anschaulichen Graphiken und bestechenden Beispielen so vorgestellt, dass sie bereits mit elementaren Schulkenntnissen als Voraussetzung verstanden wird. Sie stellt eine höchst attraktive Alternative zur konventionellen, auf den willkürlich gesetzten Axiomen der Mengentheorie fußenden formalen Mathematik dar. Und sie führt zu spektakulären Einsichten über Stetigkeit und gleichmäßige Stetigkeit, über gleichmäßige Konvergenz und über die Vertauschung von Limes und Integral, die der konventionellen Mathematik gänzlich verwehrt sind.